境界つき多様体のディラック作用素 Atiyah‐Patodi‐Singerの指数定理

マサチューセッツ工科大学における講義録をもとにして、著者メルローズが自ら書き下ろした体系的解説書“Ｔｈｅ　Ａｔｉｙａｈ‐Ｐａｔｏｄｉ‐Ｓｉｎｇｅｒ　Ｉｎｄｅｘ　Ｔｈｅｏｒｅｍ”の日本語版である。本書で著者は、大域解析学の代表的定理である「境界のない多様体」の指数定理を模範として、「境界つき多様体」の指数定理の基礎概念の準備から始めている。そして定理の定式化、証明、応用までを、解析学の視点から詳述している。著者が創始した本書の基本概念である「ｂ幾何」「ｂ計算法」のｂとは、境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）のこと。本書を通じて著者は、境界つきコンパクト多様体の基本結果であるＡｔｉｙａｈ‐Ｐａｔｏｄｉ‐Ｓｉｎｇｅｒの指数定理を、境界で退化するディラック作用素で明快に定式化し、証明の骨組みを述べ、ｂ幾何と擬微分作用素のｂ計算法で肉付けている。定理の証明を軸にして、爆発操作による漸近解析の単純化、境界つき多様体の上の熱核の方法、リスケーリングなど、洗練された技術と考察に富み、幾何への応用など多様な話題が展開されている。

目次 : 序章　ＡＰＳ定理と証明のあらすじ/ 第１章　常微分作用素/ 第２章　完全ｂ幾何/ 第３章　スピン構造/ 第４章　略式ｂ計算法/ 第５章　本式ｂ計算法/ 第６章　相対指数、コホモロジーおよびレゾルベント/ 第７章　熱計算法/ 第８章　局所指数定理/ 第９章　証明の再論と応用

【著者紹介】
Ｒ・Ｂ・メルローズ : １９４９年、オーストラリアに生まれる。オーストラリアで学び、英国ケンブリッジ大学で学位取得。マサチューセッツ工科大学数学科教授。１９９０年京都で開かれた国際数学者会議にて全体講演

内山康一 : 東京大学大学院修士課程修了（数学専門課程）、ニース大学にて理学博士（Ｄｒ　ｄ’Ｕｎｉｖ．）、東京大学より博士（数理科学）取得。上智大学理工学部数学科教授。専門は微分方程式の漸近解析（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）