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1941年６月５日アルゼンチンのブエノスアイレス生まれ。幼い頃から生地でデ・クッスロフ、ヴィチェンテ・スカラムッツァに師事しています（ゲルバーの師でもある名教師スカラムッツァについては、アルゲリッチ本人も「メソード重視で退屈だったが、基礎形成には重要だった」述懐しています）。
1949年、ブエノスアイレスのテアトロ・コロンでデビュー。モーツァルトの協奏曲第20番、ベートーヴェンの協奏曲第１番を取り上げています。
1955年、外交官だった父親がウィーンのアルゼンチン大使館に赴任となり、家族でウィーンに移ります。この際フリードリヒ・グルダに師事しますが、アルゲリッチはそのレッスンに大きな感銘と影響を受けたと述懐しています（「紫色のスポット・ライトの照明下、即興的でファンタスティックなレッスンだった。」＝アルゲリッチ）。
更にこの間、スイス、オランダでリパッティ夫人やステファン・アスケナーゼ、アルトゥーロ・ベネデッティ・ミケランジェリ、ニキタ・マガロフらにも師事しています。
この中でとりわけユニークなエピソードが伝えられるのはミケランジェリで、「実際レッスンの間、姿を現さなかった」とアルゲリッチは語っています（後のショパン・コンクール優勝後のレセプションで、ミケランジェリが関係者に語ったところでは「あの娘には静寂というものを大いに教えてやった」とのこと）。
1957年ブゾーニ国際コンクール、ジュネーヴ国際コンクールに優勝。演奏活動に入ります。
1965年ショパン国際コンクールに満場一致で優勝。同じにマズルカ賞を受賞しています。
その後ヨーロッパはもとより、アメリカ、ソヴィエト、イスラエルとは幅広く活動しています。
初来日は1970年。以降度々来日し、現在では大分県別府市で行われる音楽祭の音楽監督を務めています。